Сообщения
Когда нельзя просчитать процесс в деталях, можно подойти к нему как к чёрному ящику и решать задачу на основании общих принципов; законов сохранения, в первую очередь. Так и было сделано с идеальным ветряком. Идеальный ветряк предполагает движение воздуха сквозь него без потерь на трение, однородность ветра (равные скорости и давления в плоскости перед ветряком и в плоскости за ним), постоянство во времени скорости ветра, а также атмосферного давления и плотности воздуха во всём рассматриваемом объёме. Сила тяжести также не принимается во внимание. Эти допущения близки к действительному положению вещей.
На рисунке 6 изображена схема идеального ветряка. Сам ветряк представлен диском ветряного колеса в центре. Здесь диск абсолютно тонкий и плоский, но это не обязательное условие, площадь его обозначена на схеме буквой S. Через ветряк за единицу времени проходит некоторая масса воздуха. Эта же масса предварительно проходит через некоторую площадь S1 перед ветряком, где влияние ветряка незначительно. Скорость ветра через эту площадку равна V1. Собственно, это скорость ветра как таковая. При прохождении ветряка скорость снижается, её среднее значение обозначено буквой V. Затем, выйдя из ветряка, воздух пересекает площадь S2 со скоростью V2.
Тут следует оговориться, что нарисованные на картинке линии ограничения потока воздуха не являются плотными стенками, потому принципиально сквозь них возможен некоторый обмен воздухом с окружающей средой. Однако, перед ветряком такого обмена не будет, поскольку мы предполагаем параллельность потока, а площадку за ветряком можно выбрать сколь угодно близкой к выходу из ветряка, где обмен со средой будет ещё пренебрежимо мал.
Давайте выразим массу, проходящую сквозь ветряк, через указанные величины. За единицу времени t через площадь S проходит объём воздуха S*L, где L -- длина пути, пройденного воздухом. Этот путь равен произведению скорости на единицу времени (рис. 7). Масса, заключённая в объём, равна произведению плотности на объём, тогда масса, прошедшая через сечение равна:
m=ρ*S*L=ρ*S*V*t,
где ρ -- плотность воздуха.
Поскольку скорость ветра постоянна, то можно поделить массу на единицу времени и записать (корректнее, но длиннее, было бы изначально записать в равенство в дифференциалах, а затем продифференцировать по времени... а, может, и не длиннее, зато инженерам так понятнее, как я заметил):
m/t=ρ*S*V=dm/dt,
что означает равенство производной массы по времени произведению плотности на площадь проходного сечения и скорость течения через него.
Тоже самое можно записать для двух других сечений, а поскольку через них проходит одна и та же масса за единицу времени, то все три выражения можно приравнять. Тогда получаем равенство:
dm/dt=ρ*S1*V1=ρ*S*V=ρ*S2*V2 (1)
В сущности, это условие неразрывности потока, один из столпов доказательства.
Затем обратимся к следующему столпу, к так называемой теореме Эйлера об изменении момента количества движения жидкости в канале, которая гласит: "Сумма главного вектора объемных сил, главного вектора поверхностных сил и секундных количеств движения, направленных внутрь объема, равна нулю". Теорема простая, её доказательство легко найти. Давайте разберёмся, что в ней что.
В начале поймём, где у нас канал. Канала как такового, разумеется нет, но поскольку поток воздуха через ветряк ограничен в пространстве и не смешивается с окружающей средой, то поверхность его ограничивающая может быть назначена стенками канала (рис. 7). Поверхностные силы те, которые действуют на эти воображаемые стенки канала, а поскольку "стенки" покоятся и не испытывают никаких напряжений, то мы уже знаем величину этих сил. Поверхностные силы тождественно равны нулю.
Fпов=0
Объемные силы в потоке уравновешены (обнулены), поскольку течение равномерное. В ветряке силы со стороны потока уравновешены силами реакции со стороны ветряка, эти силы не принадлежат жидкости, поэтому объёмная сила, действующая на ветряк со стороны потока не равна нулю. Это как раз та сила, которая производит работу в ветряке.
Fобъ=Fветр
Секундное количество движения, секундный импульс, по определению есть произведение секундной массы на её скорость. Секундная масса (при условии равномерности потока), это производная массы по времени, полученная нами в формуле (1) (здесь полагаем единицей времени секунду). Поток входит и выходит из объёма канала в двух сечениях -- S1 и S2. Для первого секундный импульс можно записать как:
Q1=dm/dt*V1
для второго сечения надо учесть, что поток выходит из объёма, поэтому его величину следует взять со знаком минус:
Q2=--dm/dt*V2
Тогда теорема записывается следующим образом:
Fобъ+Fпов+Q1+Q2=0
Подставим значения сил и получим, выведя dm/dt за скобки:
dm/dt(V2-V1)=Fветр
Так как вектора скоростей воздуха направлены вдоль оси, то вектор силы, действующей на ветряк также направлен вдоль оси. Поэтому в дальнейшем мы можем перейти от векторов к их проекциям на ось, проходящую от входа до выхода вдоль оси ветряка. Заметим, что V2 меньше V1 по модулю, поэтому при переходе к проекциям силу надо записать со знаком минус:
dm/dt(V1-V2)=Fветр (2)
Только не надо путать эту силу с осевой. Осевая сила действует со стороны крыльчатки на опору, а Fветр, это сумма объёмных сил воздуха, действующих на крыльчатку.
Далее получим выражение для мощности ветряка. Дифференциал энергии равен работе силы на дифференциале пути:
dE=Fdx
Мощность есть производная энергии по времени:
P=dE/dt=Fdx/dt=Fветр*V (3)
Здесь мы учли постоянство силы во времени (её производная равна нулю в таком случае). Подставим в формулу (2) выражение для секундного расхода из формулы (1), а из формулы (3) выражение для силы.
ρ*S*V2(V1-V2)=P (4)
Тем самым мы получили мощность ветряка, но беда в том, что она выражается через две неизвестные величины: некую среднюю скорость воздуха через ветряк и скорость воздуха на выходе из него.
Попробуем получить ту же мощность, но с другой стороны. Исходя из закона сохранения энергии необходимо признать, что не только воздух производит работу с ветряком, но и ветряк производит работу с воздухом той же величины, но с обратным знаком, что бы их сумма была равна нулю, ведь когда где-то что-то появляется, где-то что-то пропадает:
A1 + A2 = 0 (5)
Обратимся к третьему столпу, закону Бернулли. Закон Бернулли справедлив для идеальной жидкости, лишённой вязкости и теплопроводности. Воздух таковой, вообще говоря, не является, но очень похож на неё в рассматриваемом случае. Использование идеальной жидкости, это ещё одно допущение теоремы. Однако, это допущение не меняет результат, поскольку учёт вязкости приведёт к появлению потерь и снижению мощности ветряка, а мы пытаемся определить максимально возможную из всех. Максимальная будет в невязком потоке.
Закон Бернулли без гравитации декларирует постоянство в потоке следующей величины:
ρ*V2/2+p=const
постоянная величина (const) также называется полным давлением, которое слагается из статического давления (p) и динамического давления (первый член уравнения). Вначале мы договорились, что статическое давление до ветряка и после остаётся неизменным и равным атмосферному давлению. Атмосферное давление, собственно, так и измеряется как статическое давление воздуха. Меняется динамическое давление, оно и производит работу ветряка.
На входе в наш канал воздух совершает работу (вообще говоря, над самим собой) равную:
ρ*V12/2*S1*V1*t
За ветряком, соответственно:
ρ*V22/2*S2*V2*t
Запишем разницу этих работ, используя условие неразрывности, из которого возьмём замену линейным членам, введя средние значения скорости и площади:
A2=ρ*/2*S*V*t*(V22-V12)
Эта разница и производит работу над ветряком. Продифференцируем работу по времени и получим мощность:
Р2=ρ*/2*S*V*(V22-V12) (6)
Продифференцировав уравнение (5), получим выражение для мощностей:
Р1 + Р2 = 0 (7)
Подставим в (7) значения мощностей из (4) и (6):
ρ*S*V2(V1-V2) + ρ*/2*S*V*(V22-V12) = 0
Откуда несложными алгебраическими манипуляциями получим искомую среднюю скорость:
V=1/2*(V1+V2) (8)
NB. В выводе средней скорости был некоторый тёмный момент, а именно, в вычислении работы воздуха над самим собой. На самом деле, существуют различные способы выведения средней скорости (скорости воздуха внутри ветряка), но все они сомнительные, как и сама эта величина, не имеющая физического воплощения. Вспомним, что мы рассматриваем ветряк как чёрный ящик, и что там внутри у него происходит, нам неизвестно. Более того, нам неизвестно, что происходит вблизи него, известны только параметры входа и выхода. Поэтому я ввёл такое понятие как работа воздуха над самим собой, которую он якобы производит, толкая себя вперёд, подобно Мюнхаузену с косичкой. В действительности воздух работает над ветряком, но мы этого "не видим", видим только как воздух подходит к ветряку и отходит от него, с изменившейся возможностю совершать работу. В других местах вы и такого объяснения не получите, в лучшем случае безосновательное "приблизительно можно считать", а то и вовсе ошибочные заявления. Этот тёмный момент доказательства провоцировал попытки усовершенствования теории, включая попытку Г.Х.Сабинина.
Выражение для средней скорости от скоростей на входе и выходе (8) предоставляет нам возможность сократить в выражении для мощности (4) лишнюю неизвестную. Теперь мощность можно выразить через одну неизвестную -- скорость воздуха на выходе V2.
P=ρ*S*V2(V1-V2)=ρ*S*(V1+V2)2(V1-V2)/4=ρ*S*(V12-V22)(V1+V2)/4 (9)
Но и такое выражение ничего пока не даёт, преобразуем его к другой, к относительной переменной b=V2/V1, нормализуем выходную скорость скоростью ветра.
P=ρ*S*(V12-V22)(V1+V2)/4=ρ*S*V13(1-b2)(1+b)/4 (10)
Теперь исследуем уравнение (10) на предмет наличия у него максимумов. Максимум функции как раз и будет максимальной мощностью ветряка. Разделим для удобства вычислений уравнение (10) на постоянную и переменную часть (k).
P=ρ*S*V13k/2, здесь k=(1-b2)(1+b)/2
Продифференцируем k по b и приравняем к нулю:
dk/db=1/2(1-3b)(1+b)=0 (11)
Решения уравнения (11) будут экстремумами функции. Легко видеть, что эти решения b=1/3 и b=--1. Только первое решение имеет смысл, оно означает, что скорость ветра за ветряком составляет одну третью часть скорости ветра перед ветряком. Это и есть максимум. Можете самостоятельно доказать это утверждение, продифференцировав функцию (11) ещё раз. Я же вернусь к её исследованию в следующем посте. Пока же просто выпишу окончательную формулу для максимальной мощности ветряка, закон Бетца:
Pmax = (16/27)ρ*S*V13/2 ≈ 0.593*ρ*S*V13/2 (12)
 |
| Рис. 6. Закон Бетца. |
На рисунке 6 изображена схема идеального ветряка. Сам ветряк представлен диском ветряного колеса в центре. Здесь диск абсолютно тонкий и плоский, но это не обязательное условие, площадь его обозначена на схеме буквой S. Через ветряк за единицу времени проходит некоторая масса воздуха. Эта же масса предварительно проходит через некоторую площадь S1 перед ветряком, где влияние ветряка незначительно. Скорость ветра через эту площадку равна V1. Собственно, это скорость ветра как таковая. При прохождении ветряка скорость снижается, её среднее значение обозначено буквой V. Затем, выйдя из ветряка, воздух пересекает площадь S2 со скоростью V2.
Тут следует оговориться, что нарисованные на картинке линии ограничения потока воздуха не являются плотными стенками, потому принципиально сквозь них возможен некоторый обмен воздухом с окружающей средой. Однако, перед ветряком такого обмена не будет, поскольку мы предполагаем параллельность потока, а площадку за ветряком можно выбрать сколь угодно близкой к выходу из ветряка, где обмен со средой будет ещё пренебрежимо мал.
 |
| Рис. 7. Объём воздуха, проходящего через сечение. |
m=ρ*S*L=ρ*S*V*t,
где ρ -- плотность воздуха.
Поскольку скорость ветра постоянна, то можно поделить массу на единицу времени и записать (корректнее, но длиннее, было бы изначально записать в равенство в дифференциалах, а затем продифференцировать по времени... а, может, и не длиннее, зато инженерам так понятнее, как я заметил):
m/t=ρ*S*V=dm/dt,
что означает равенство производной массы по времени произведению плотности на площадь проходного сечения и скорость течения через него.
Тоже самое можно записать для двух других сечений, а поскольку через них проходит одна и та же масса за единицу времени, то все три выражения можно приравнять. Тогда получаем равенство:
dm/dt=ρ*S1*V1=ρ*S*V=ρ*S2*V2 (1)
Затем обратимся к следующему столпу, к так называемой теореме Эйлера об изменении момента количества движения жидкости в канале, которая гласит: "Сумма главного вектора объемных сил, главного вектора поверхностных сил и секундных количеств движения, направленных внутрь объема, равна нулю". Теорема простая, её доказательство легко найти. Давайте разберёмся, что в ней что.
В начале поймём, где у нас канал. Канала как такового, разумеется нет, но поскольку поток воздуха через ветряк ограничен в пространстве и не смешивается с окружающей средой, то поверхность его ограничивающая может быть назначена стенками канала (рис. 7). Поверхностные силы те, которые действуют на эти воображаемые стенки канала, а поскольку "стенки" покоятся и не испытывают никаких напряжений, то мы уже знаем величину этих сил. Поверхностные силы тождественно равны нулю.
Fпов=0
Объемные силы в потоке уравновешены (обнулены), поскольку течение равномерное. В ветряке силы со стороны потока уравновешены силами реакции со стороны ветряка, эти силы не принадлежат жидкости, поэтому объёмная сила, действующая на ветряк со стороны потока не равна нулю. Это как раз та сила, которая производит работу в ветряке.
Fобъ=Fветр
Секундное количество движения, секундный импульс, по определению есть произведение секундной массы на её скорость. Секундная масса (при условии равномерности потока), это производная массы по времени, полученная нами в формуле (1) (здесь полагаем единицей времени секунду). Поток входит и выходит из объёма канала в двух сечениях -- S1 и S2. Для первого секундный импульс можно записать как:
Q1=dm/dt*V1
для второго сечения надо учесть, что поток выходит из объёма, поэтому его величину следует взять со знаком минус:
Q2=--dm/dt*V2
Тогда теорема записывается следующим образом:
Fобъ+Fпов+Q1+Q2=0
Подставим значения сил и получим, выведя dm/dt за скобки:
dm/dt(V2-V1)=Fветр
Так как вектора скоростей воздуха направлены вдоль оси, то вектор силы, действующей на ветряк также направлен вдоль оси. Поэтому в дальнейшем мы можем перейти от векторов к их проекциям на ось, проходящую от входа до выхода вдоль оси ветряка. Заметим, что V2 меньше V1 по модулю, поэтому при переходе к проекциям силу надо записать со знаком минус:
dm/dt(V1-V2)=Fветр (2)
Только не надо путать эту силу с осевой. Осевая сила действует со стороны крыльчатки на опору, а Fветр, это сумма объёмных сил воздуха, действующих на крыльчатку.
Далее получим выражение для мощности ветряка. Дифференциал энергии равен работе силы на дифференциале пути:
dE=Fdx
Мощность есть производная энергии по времени:
P=dE/dt=Fdx/dt=Fветр*V (3)
Здесь мы учли постоянство силы во времени (её производная равна нулю в таком случае). Подставим в формулу (2) выражение для секундного расхода из формулы (1), а из формулы (3) выражение для силы.
ρ*S*V2(V1-V2)=P (4)
Тем самым мы получили мощность ветряка, но беда в том, что она выражается через две неизвестные величины: некую среднюю скорость воздуха через ветряк и скорость воздуха на выходе из него.
Попробуем получить ту же мощность, но с другой стороны. Исходя из закона сохранения энергии необходимо признать, что не только воздух производит работу с ветряком, но и ветряк производит работу с воздухом той же величины, но с обратным знаком, что бы их сумма была равна нулю, ведь когда где-то что-то появляется, где-то что-то пропадает:
A1 + A2 = 0 (5)
Обратимся к третьему столпу, закону Бернулли. Закон Бернулли справедлив для идеальной жидкости, лишённой вязкости и теплопроводности. Воздух таковой, вообще говоря, не является, но очень похож на неё в рассматриваемом случае. Использование идеальной жидкости, это ещё одно допущение теоремы. Однако, это допущение не меняет результат, поскольку учёт вязкости приведёт к появлению потерь и снижению мощности ветряка, а мы пытаемся определить максимально возможную из всех. Максимальная будет в невязком потоке.
Закон Бернулли без гравитации декларирует постоянство в потоке следующей величины:
ρ*V2/2+p=const
постоянная величина (const) также называется полным давлением, которое слагается из статического давления (p) и динамического давления (первый член уравнения). Вначале мы договорились, что статическое давление до ветряка и после остаётся неизменным и равным атмосферному давлению. Атмосферное давление, собственно, так и измеряется как статическое давление воздуха. Меняется динамическое давление, оно и производит работу ветряка.
На входе в наш канал воздух совершает работу (вообще говоря, над самим собой) равную:
ρ*V12/2*S1*V1*t
За ветряком, соответственно:
ρ*V22/2*S2*V2*t
Запишем разницу этих работ, используя условие неразрывности, из которого возьмём замену линейным членам, введя средние значения скорости и площади:
A2=ρ*/2*S*V*t*(V22-V12)
Эта разница и производит работу над ветряком. Продифференцируем работу по времени и получим мощность:
Р2=ρ*/2*S*V*(V22-V12) (6)
Продифференцировав уравнение (5), получим выражение для мощностей:
Р1 + Р2 = 0 (7)
Подставим в (7) значения мощностей из (4) и (6):
ρ*S*V2(V1-V2) + ρ*/2*S*V*(V22-V12) = 0
Откуда несложными алгебраическими манипуляциями получим искомую среднюю скорость:
V=1/2*(V1+V2) (8)
NB. В выводе средней скорости был некоторый тёмный момент, а именно, в вычислении работы воздуха над самим собой. На самом деле, существуют различные способы выведения средней скорости (скорости воздуха внутри ветряка), но все они сомнительные, как и сама эта величина, не имеющая физического воплощения. Вспомним, что мы рассматриваем ветряк как чёрный ящик, и что там внутри у него происходит, нам неизвестно. Более того, нам неизвестно, что происходит вблизи него, известны только параметры входа и выхода. Поэтому я ввёл такое понятие как работа воздуха над самим собой, которую он якобы производит, толкая себя вперёд, подобно Мюнхаузену с косичкой. В действительности воздух работает над ветряком, но мы этого "не видим", видим только как воздух подходит к ветряку и отходит от него, с изменившейся возможностю совершать работу. В других местах вы и такого объяснения не получите, в лучшем случае безосновательное "приблизительно можно считать", а то и вовсе ошибочные заявления. Этот тёмный момент доказательства провоцировал попытки усовершенствования теории, включая попытку Г.Х.Сабинина.
Выражение для средней скорости от скоростей на входе и выходе (8) предоставляет нам возможность сократить в выражении для мощности (4) лишнюю неизвестную. Теперь мощность можно выразить через одну неизвестную -- скорость воздуха на выходе V2.
P=ρ*S*V2(V1-V2)=ρ*S*(V1+V2)2(V1-V2)/4=ρ*S*(V12-V22)(V1+V2)/4 (9)
Но и такое выражение ничего пока не даёт, преобразуем его к другой, к относительной переменной b=V2/V1, нормализуем выходную скорость скоростью ветра.
P=ρ*S*(V12-V22)(V1+V2)/4=ρ*S*V13(1-b2)(1+b)/4 (10)
Теперь исследуем уравнение (10) на предмет наличия у него максимумов. Максимум функции как раз и будет максимальной мощностью ветряка. Разделим для удобства вычислений уравнение (10) на постоянную и переменную часть (k).
P=ρ*S*V13k/2, здесь k=(1-b2)(1+b)/2
Продифференцируем k по b и приравняем к нулю:
dk/db=1/2(1-3b)(1+b)=0 (11)
Решения уравнения (11) будут экстремумами функции. Легко видеть, что эти решения b=1/3 и b=--1. Только первое решение имеет смысл, оно означает, что скорость ветра за ветряком составляет одну третью часть скорости ветра перед ветряком. Это и есть максимум. Можете самостоятельно доказать это утверждение, продифференцировав функцию (11) ещё раз. Я же вернусь к её исследованию в следующем посте. Пока же просто выпишу окончательную формулу для максимальной мощности ветряка, закон Бетца:
Pmax = (16/27)ρ*S*V13/2 ≈ 0.593*ρ*S*V13/2 (12)
2 комментария:
да, вот сейчас тяжело пошло. в прошлый раз безуспешно пыталась восстановить в голове утраченного Навье-Стокса, теперь поняла, что не только матан забыла, но и школьную алгебру. только благодаря тексту смысл расчёта боле-менее понятен.
мне-то проще, я позже учился
Отправить комментарий