Так вот пошутишь, бывает, не подумавши, а потом жалеешь... жалеешь, так сильно, что аж смешно становится.
под писка
Сообщения
Все комментарии
вторник, 29 марта 2016 г.
вторник, 22 марта 2016 г.
пятница, 18 марта 2016 г.
вторник, 15 марта 2016 г.
вторник, 8 марта 2016 г.
пятница, 4 марта 2016 г.
Третья часть всех ветров
 |
| Рис. 8. Коэффициент Бетца. |
Почему так получается? Чем сильнее турбина тормозит воздух, тем больше забирает от него энергии, но заторможенный воздух нужно куда-то девать, поэтому он должен иметь какую-то скорость, иначе подопрёт сзади ветряк. Чем медленнее будет двигаться отработанный воздух, тем сильнее он будет мешать работе ветряка. То есть, имеются две противоположные тенденции, их пересечение и даёт максимум.
Запишем формулу мощности ветряка с использованием коэффициента эффективности турбины k:
P= k*ρ*S*V3/2 (1)
Коэффициент k можно так назвать потому, что стоящий за ним множитель не что иное, как поток кинетической энергии ветра, падающей на площадь ветряка. Это легко вывести, опираясь на предыдущий пост. Поэтому безразмерный коэффициент k определяет долю использованной мощности ветра. В этом смысле он аналогичен коэффициенту полезного действия тепловой машины, только роль температуры играет скорость ветра. Чем больше k, тем больше мощности выдаёт ветряк.
Посмотрим, от чего ещё зависит мощность. Первым делом от скорости ветра, а вовсе не от коэффициента эффективности, как можно было бы полагать. Ведь скорость ветра входит в него в кубической степени, а это значит, что увеличение скорости ветра вдвое приводит к восьмикратному росту мощности ветряка. При том, что k меняется в зависимости от конструкции ветряка в пределах от 0,3 до 0,59, то есть всего вдвое (см. рис. 8). Зато ветер меняется в куда более широких пределах. В метеорологии принята так называемая шкала Бофорта для оценки скорости ветра, она даёт понять насколько сильно может меняться мощность ветряка в зависимости от погоды.
Сила ветра у земной поверхности по шкале Бофорта
(на стандартной высоте 10 м над открытой ровной поверхностью) |
||||
Баллы Бофорта
|
Словесное определение силы ветра
|
Скорость ветра, м/сек
|
Действие ветра
|
|
на суше
|
на море
|
|||
0
|
Штиль
|
0-0,2
|
Штиль. Дым поднимается вертикально
|
Зеркально гладкое море
|
1
|
Тихий
|
0,3-1,5
|
Направление
ветра заметно по относу дыма, но не по флюгеру
|
Рябь, пены на
гребнях нет
|
2
|
Лёгкий
|
1,6-3,3
|
Движение
ветра ощущается лицом, шелестят листья, приводится в движение флюгер
|
Короткие
волны, гребни не опрокидываются и кажутся стекловидными
|
3
|
Слабый
|
3,4-5,4
|
Листья и
тонкие ветви деревьев всё время колышутся, ветер развевает верхние флаги
|
Короткие,
хорошо выраженные волны. Гребни, опрокидываясь, образуют стекловидную пену,
изредка образуются маленькие белые барашки
|
4
|
Умеренный
|
5,5-7,9
|
Ветер
поднимает пыль и бумажки, приводит в движение тонкие ветви деревьев
|
Волны
удлинённые, белые барашки видны во многих местах
|
5
|
Свежий
|
8,0-10,7
|
Качаются
тонкие стволы деревьев, на воде появляются волны с гребнями
|
Хорошо
развитые в длину, но не очень крупные волны, повсюду видны белые барашки (в
отдельных случаях образуются брызги)
|
6
|
Сильный
|
10,8-13,8
|
Качаются
толстые сучья деревьев, гудят телеграфные провода
|
Начинают
образовываться крупные волны. Белые пенистые гребни занимают значительные
площади (вероятны брызги)
|
7
|
Крепкий
|
13,9-17,1
|
Качаются
стволы деревьев, идти против ветра трудно
|
Волны
громоздятся, гребни срываются, пена ложится полосами по ветру
|
8
|
Очень крепкий
|
17,2-20,7
|
Ветер ломает
сучья деревьев, идти против ветра очень трудно
|
Умеренно
высокие длинные волны. По краям гребней начинают взлетать брызги. Полосы пены ложатся рядами по направлению ветра
|
9
|
Шторм
|
20,8-24,4
|
Небольшие
повреждения; ветер срывает дымовые колпаки и черепицу
|
Высокие
волны. Пена широкими плотными полосами ложится по ветру. Гребни волн начинают
опрокидываться и рассыпаться в брызги, которые ухудшают видимость
|
10
|
Сильный шторм
|
24,5-28,4
|
Значительные
разрушения строений, деревья вырываются с корнем. На суше бывает редко
|
Очень высокие
волны с длинными загибающимися вниз гребнями. Образующаяся пена выдувается
ветром большими хлопьями в виде густых белых полос. Поверхность моря белая от
пены. Сильный грохот волн подобен ударам. Видимость
плохая
|
11
|
Жестокий шторм
|
28,5-32,6
|
Большие
разрушения на значительном пространстве. На суше наблюдается очень редко
|
Исключительно
высокие волны. Суда небольшого и среднего размера временами скрываются из
вида. Море всё покрыто длинными белыми хлопьями пены, располагающимися по
ветру. Края волн повсюду сдуваются в
пену. Видимость плохая
|
12
|
Ураган
|
32,7 и более
|
Воздух
наполнен пеной и брызгами. Море всё покрыто полосами пены. Очень плохая видимость
|
|
Среднегодовая скорость ветра на равнинных участках материков находится в районе 3 баллов. В метрах в секунду это около 4 м/c. Но ветер не постоянен, иногда он стихает. Не будем брать крайний случай, но ветер бывает тихим, примерно 1,5 м/c, а это значит, что мощность ветряка снижается... в 19 раз. Но, как мы помним, слабый ветер не проблема, губит ветер сильный. Когда деревья качаются, например, а это 7 баллов. Возьмём 16 м/c, чтобы в уме можно было посчитать. Если сомневаетесь в своём уме, пересчитайте на калькуляторе: 4х4х4=64. Шестьдесят четыре раза. Это многое объясняет. Даже современные ветряные турбины останавливаются при скорости ветра 25 м/c, чтобы не сломаться, а это, как мы видим, не предел. При скорости в 32 м/c ветряк выдал бы мощность в 512 раз большую, чем обычно, если бы смог, но, увы, таких пока не делают. Таково непостоянство ветра.
Вторая по важности переменная, это площадь ветряка. Площадь плохо воспринимается сознанием, поэтому выразим её через диаметр ветряка. Тогда формула (1) преобразуется в следующий вид:
P= k*ρ*pi*d2/4*V3/2 (2)
То есть, от диаметра ветряка его мощность зависит квадратичным образом. При увеличении диаметра в два раза мощность возрастёт вчетверо. Поэтому размер имеет значение, как гласит рекламный лозунг одной из фирм, производящей ветряные турбины.
Давайте сравним по этому параметру первую турбину с горизонтальной осью, которую Чарльз Браш построил для дома, для семьи, и новейшие разработки ведущих производителей. Диаметр мельницы Браша равнялся 17-ти метрам, а нынешние турбины берут рубеж в 150 метров. Делим сто пятьдесят на семнадцать и возводим в квадрат -- возможность собирать ветер со времён первых ветрогенераторов до наших дней увеличилась в 78 раз.
Теперь вернёмся к эффективности, это третий фактор, влияющий на мощность турбины. Как я уже заметил, он меняется от 0,3 до предела Бетца -- 0,593. Если посмотреть на рис. 8, то можно видеть, что величина 0,3 означает, что используется пятая часть ветра, падающего на ветряк. Такую эффективность обеспечит даже самое примитивное ветряное колесо. В тоже время, с учётом всех остальных факторов, разница с максимально возможным вариантом невелика. Становится понятным, почему древние строители ветряных мельниц не уделяли никакого внимания форме крыльев своих машин. Единственное, крылья следовало закручивать, в противном случае часть крыла просто встало бы торцом к ветру и перестало бы работать, что было бы равносильно сокращению размера ветряного колеса.
Из сказанного вовсе не следует, что ветряным турбинам как и прежде надо делать плоские крылья. Во-первых, обтекаемые лопасти, это красиво. Во-вторых, они меньше шумят, и третья, главная причина, тоже не имеет непосредственного отношения к производительности как таковой. Хорошие аэродинамические свойства лопастей турбины уменьшают вредное осевое усилие, переводя энергию ветра в полезное окружное. Тем самым уменьшается бесполезная нагрузка и на лопасти, и на башню, и на все остальные силовые элементы турбины. Долговечность конструкции растёт, а материалоёмкость падает, что сокращает стоимость выработки электроэнергии. Вспомните в какие бочонки выродились голландские мельницы, а ведь ветровая нагрузка на современные турбины намного выше; они больше и устанавливаются в зоне сильных ветров (6 баллов по шкале Бофорта). Привет лорду Кельвину.
Но если турбина маленькая, то хорошая обтекаемость не имеет особого значения. Ну, будет шуметь. Если сделать лопастей побольше, то шуметь будет меньше (поток за турбиной будет равномернее). Поэтому, кстати, водокачки Халладея производятся до сих пор! (в полукустарных мастерских) Если же кто-нибудь будет вам впаривать маленькую турбинку с лопастями, сделанными с использованием новейших достижений оборонной науки, и которые обеспечивают высочайшую мощность турбины, то плюньте ему на ботинки, он вас обманывает. Посмотрите ещё раз на рис. 8. В области значений b от нуля до 0,6 функция почти плоская. Аэродинамические свойства лопастей практически не влияют на мощность турбины. Размер всё, форма ничто.
Кстати, мы же теперь можем подсчитать, какого диаметра нужен ветряк, чтобы удовлетворить потребности вашего домохозяйства в электроэнергии. Запросто. Для этого в формуле (2) нужно подставить значения для k (разумно взять 0,45), для плотности воздуха (можно принять 1,23, она меняется с температурой и высотой над уровнем моря, да и просто с погодой, но незначительно, фактор скорости ветра все перебивает). Если свести все числовые коэффициенты в один, то получится следующая формула:
P= 0,217*d2*V3 (3)
Отсюда необходимый диаметр равен:
Остаётся подставить необходимую вам мощность в ваттах и среднюю скорость ветра в метрах в секунду для вашей местности, и получите необходимый диаметр в метрах.
Я же вернусь к ветряку Чарльза Браша, прикину по формуле (3), какую он мог выдавать мощность. Единственная неизвестная здесь, это скорость ветра. Википедия говорит, что среднегодовая скорость ветра в Кливленде -- 4,2 м/c. Тогда средняя мощность ветряка Браша составляла 4,6 кВт. Прежде говорилось о мощности в десяток киловатт, но, вероятно, историки имели в виду пиковую мощность. Поскольку ветряк был подключён к аккумуляторам, пиковая мощность могла в разы превосходить среднюю.
Да и средняя мощность тоже очень неплохая. Если не тратить электричество на отопление, то хватит на большой дом. Если у вас на участке есть место для размещения ветряка диаметром 17 метров. О его стоимости я ничего не говорю. Если же ограничиться разумным размером, в 2 метра, например, то в Кливленде это даст... 64 ватта. На лампочку хватит. Скорость ветра в средней полосе России примерно такая же, так что мотайте на ус. С другой стороны, в сутках 24 часа, в месяце 30 дней, за месяц можно сэкономить 46 кВт*ч, 208 рублей по нынешним подмосковным ценам. На освещение дачи может хватить, вопрос в аккумуляторе хорошем. (Это у меня разговор такой был.)
Такие, вот, прагматические выводы получаются из рассмотрения задачи идеального ветряка.
четверг, 3 марта 2016 г.
Это теорема, теорема Бетца, вам говорят
Когда нельзя просчитать процесс в деталях, можно подойти к нему как к чёрному ящику и решать задачу на основании общих принципов; законов сохранения, в первую очередь. Так и было сделано с идеальным ветряком. Идеальный ветряк предполагает движение воздуха сквозь него без потерь на трение, однородность ветра (равные скорости и давления в плоскости перед ветряком и в плоскости за ним), постоянство во времени скорости ветра, а также атмосферного давления и плотности воздуха во всём рассматриваемом объёме. Сила тяжести также не принимается во внимание. Эти допущения близки к действительному положению вещей.
На рисунке 6 изображена схема идеального ветряка. Сам ветряк представлен диском ветряного колеса в центре. Здесь диск абсолютно тонкий и плоский, но это не обязательное условие, площадь его обозначена на схеме буквой S. Через ветряк за единицу времени проходит некоторая масса воздуха. Эта же масса предварительно проходит через некоторую площадь S1 перед ветряком, где влияние ветряка незначительно. Скорость ветра через эту площадку равна V1. Собственно, это скорость ветра как таковая. При прохождении ветряка скорость снижается, её среднее значение обозначено буквой V. Затем, выйдя из ветряка, воздух пересекает площадь S2 со скоростью V2.
Тут следует оговориться, что нарисованные на картинке линии ограничения потока воздуха не являются плотными стенками, потому принципиально сквозь них возможен некоторый обмен воздухом с окружающей средой. Однако, перед ветряком такого обмена не будет, поскольку мы предполагаем параллельность потока, а площадку за ветряком можно выбрать сколь угодно близкой к выходу из ветряка, где обмен со средой будет ещё пренебрежимо мал.
Давайте выразим массу, проходящую сквозь ветряк, через указанные величины. За единицу времени t через площадь S проходит объём воздуха S*L, где L -- длина пути, пройденного воздухом. Этот путь равен произведению скорости на единицу времени (рис. 7). Масса, заключённая в объём, равна произведению плотности на объём, тогда масса, прошедшая через сечение равна:
m=ρ*S*L=ρ*S*V*t,
где ρ -- плотность воздуха.
Поскольку скорость ветра постоянна, то можно поделить массу на единицу времени и записать (корректнее, но длиннее, было бы изначально записать в равенство в дифференциалах, а затем продифференцировать по времени... а, может, и не длиннее, зато инженерам так понятнее, как я заметил):
m/t=ρ*S*V=dm/dt,
что означает равенство производной массы по времени произведению плотности на площадь проходного сечения и скорость течения через него.
Тоже самое можно записать для двух других сечений, а поскольку через них проходит одна и та же масса за единицу времени, то все три выражения можно приравнять. Тогда получаем равенство:
dm/dt=ρ*S1*V1=ρ*S*V=ρ*S2*V2 (1)
В сущности, это условие неразрывности потока, один из столпов доказательства.
Затем обратимся к следующему столпу, к так называемой теореме Эйлера об изменении момента количества движения жидкости в канале, которая гласит: "Сумма главного вектора объемных сил, главного вектора поверхностных сил и секундных количеств движения, направленных внутрь объема, равна нулю". Теорема простая, её доказательство легко найти. Давайте разберёмся, что в ней что.
В начале поймём, где у нас канал. Канала как такового, разумеется нет, но поскольку поток воздуха через ветряк ограничен в пространстве и не смешивается с окружающей средой, то поверхность его ограничивающая может быть назначена стенками канала (рис. 7). Поверхностные силы те, которые действуют на эти воображаемые стенки канала, а поскольку "стенки" покоятся и не испытывают никаких напряжений, то мы уже знаем величину этих сил. Поверхностные силы тождественно равны нулю.
Fпов=0
Объемные силы в потоке уравновешены (обнулены), поскольку течение равномерное. В ветряке силы со стороны потока уравновешены силами реакции со стороны ветряка, эти силы не принадлежат жидкости, поэтому объёмная сила, действующая на ветряк со стороны потока не равна нулю. Это как раз та сила, которая производит работу в ветряке.
Fобъ=Fветр
Секундное количество движения, секундный импульс, по определению есть произведение секундной массы на её скорость. Секундная масса (при условии равномерности потока), это производная массы по времени, полученная нами в формуле (1) (здесь полагаем единицей времени секунду). Поток входит и выходит из объёма канала в двух сечениях -- S1 и S2. Для первого секундный импульс можно записать как:
Q1=dm/dt*V1
для второго сечения надо учесть, что поток выходит из объёма, поэтому его величину следует взять со знаком минус:
Q2=--dm/dt*V2
Тогда теорема записывается следующим образом:
Fобъ+Fпов+Q1+Q2=0
Подставим значения сил и получим, выведя dm/dt за скобки:
dm/dt(V2-V1)=Fветр
Так как вектора скоростей воздуха направлены вдоль оси, то вектор силы, действующей на ветряк также направлен вдоль оси. Поэтому в дальнейшем мы можем перейти от векторов к их проекциям на ось, проходящую от входа до выхода вдоль оси ветряка. Заметим, что V2 меньше V1 по модулю, поэтому при переходе к проекциям силу надо записать со знаком минус:
dm/dt(V1-V2)=Fветр (2)
Только не надо путать эту силу с осевой. Осевая сила действует со стороны крыльчатки на опору, а Fветр, это сумма объёмных сил воздуха, действующих на крыльчатку.
Далее получим выражение для мощности ветряка. Дифференциал энергии равен работе силы на дифференциале пути:
dE=Fdx
Мощность есть производная энергии по времени:
P=dE/dt=Fdx/dt=Fветр*V (3)
Здесь мы учли постоянство силы во времени (её производная равна нулю в таком случае). Подставим в формулу (2) выражение для секундного расхода из формулы (1), а из формулы (3) выражение для силы.
ρ*S*V2(V1-V2)=P (4)
Тем самым мы получили мощность ветряка, но беда в том, что она выражается через две неизвестные величины: некую среднюю скорость воздуха через ветряк и скорость воздуха на выходе из него.
Попробуем получить ту же мощность, но с другой стороны. Исходя из закона сохранения энергии необходимо признать, что не только воздух производит работу с ветряком, но и ветряк производит работу с воздухом той же величины, но с обратным знаком, что бы их сумма была равна нулю, ведь когда где-то что-то появляется, где-то что-то пропадает:
A1 + A2 = 0 (5)
Обратимся к третьему столпу, закону Бернулли. Закон Бернулли справедлив для идеальной жидкости, лишённой вязкости и теплопроводности. Воздух таковой, вообще говоря, не является, но очень похож на неё в рассматриваемом случае. Использование идеальной жидкости, это ещё одно допущение теоремы. Однако, это допущение не меняет результат, поскольку учёт вязкости приведёт к появлению потерь и снижению мощности ветряка, а мы пытаемся определить максимально возможную из всех. Максимальная будет в невязком потоке.
Закон Бернулли без гравитации декларирует постоянство в потоке следующей величины:
ρ*V2/2+p=const
постоянная величина (const) также называется полным давлением, которое слагается из статического давления (p) и динамического давления (первый член уравнения). Вначале мы договорились, что статическое давление до ветряка и после остаётся неизменным и равным атмосферному давлению. Атмосферное давление, собственно, так и измеряется как статическое давление воздуха. Меняется динамическое давление, оно и производит работу ветряка.
На входе в наш канал воздух совершает работу (вообще говоря, над самим собой) равную:
ρ*V12/2*S1*V1*t
За ветряком, соответственно:
ρ*V22/2*S2*V2*t
Запишем разницу этих работ, используя условие неразрывности, из которого возьмём замену линейным членам, введя средние значения скорости и площади:
A2=ρ*/2*S*V*t*(V22-V12)
Эта разница и производит работу над ветряком. Продифференцируем работу по времени и получим мощность:
Р2=ρ*/2*S*V*(V22-V12) (6)
Продифференцировав уравнение (5), получим выражение для мощностей:
Р1 + Р2 = 0 (7)
Подставим в (7) значения мощностей из (4) и (6):
ρ*S*V2(V1-V2) + ρ*/2*S*V*(V22-V12) = 0
Откуда несложными алгебраическими манипуляциями получим искомую среднюю скорость:
V=1/2*(V1+V2) (8)
NB. В выводе средней скорости был некоторый тёмный момент, а именно, в вычислении работы воздуха над самим собой. На самом деле, существуют различные способы выведения средней скорости (скорости воздуха внутри ветряка), но все они сомнительные, как и сама эта величина, не имеющая физического воплощения. Вспомним, что мы рассматриваем ветряк как чёрный ящик, и что там внутри у него происходит, нам неизвестно. Более того, нам неизвестно, что происходит вблизи него, известны только параметры входа и выхода. Поэтому я ввёл такое понятие как работа воздуха над самим собой, которую он якобы производит, толкая себя вперёд, подобно Мюнхаузену с косичкой. В действительности воздух работает над ветряком, но мы этого "не видим", видим только как воздух подходит к ветряку и отходит от него, с изменившейся возможностю совершать работу. В других местах вы и такого объяснения не получите, в лучшем случае безосновательное "приблизительно можно считать", а то и вовсе ошибочные заявления. Этот тёмный момент доказательства провоцировал попытки усовершенствования теории, включая попытку Г.Х.Сабинина.
Выражение для средней скорости от скоростей на входе и выходе (8) предоставляет нам возможность сократить в выражении для мощности (4) лишнюю неизвестную. Теперь мощность можно выразить через одну неизвестную -- скорость воздуха на выходе V2.
P=ρ*S*V2(V1-V2)=ρ*S*(V1+V2)2(V1-V2)/4=ρ*S*(V12-V22)(V1+V2)/4 (9)
Но и такое выражение ничего пока не даёт, преобразуем его к другой, к относительной переменной b=V2/V1, нормализуем выходную скорость скоростью ветра.
P=ρ*S*(V12-V22)(V1+V2)/4=ρ*S*V13(1-b2)(1+b)/4 (10)
Теперь исследуем уравнение (10) на предмет наличия у него максимумов. Максимум функции как раз и будет максимальной мощностью ветряка. Разделим для удобства вычислений уравнение (10) на постоянную и переменную часть (k).
P=ρ*S*V13k/2, здесь k=(1-b2)(1+b)/2
Продифференцируем k по b и приравняем к нулю:
dk/db=1/2(1-3b)(1+b)=0 (11)
Решения уравнения (11) будут экстремумами функции. Легко видеть, что эти решения b=1/3 и b=--1. Только первое решение имеет смысл, оно означает, что скорость ветра за ветряком составляет одну третью часть скорости ветра перед ветряком. Это и есть максимум. Можете самостоятельно доказать это утверждение, продифференцировав функцию (11) ещё раз. Я же вернусь к её исследованию в следующем посте. Пока же просто выпишу окончательную формулу для максимальной мощности ветряка, закон Бетца:
Pmax = (16/27)ρ*S*V13/2 ≈ 0.593*ρ*S*V13/2 (12)
 |
| Рис. 6. Закон Бетца. |
На рисунке 6 изображена схема идеального ветряка. Сам ветряк представлен диском ветряного колеса в центре. Здесь диск абсолютно тонкий и плоский, но это не обязательное условие, площадь его обозначена на схеме буквой S. Через ветряк за единицу времени проходит некоторая масса воздуха. Эта же масса предварительно проходит через некоторую площадь S1 перед ветряком, где влияние ветряка незначительно. Скорость ветра через эту площадку равна V1. Собственно, это скорость ветра как таковая. При прохождении ветряка скорость снижается, её среднее значение обозначено буквой V. Затем, выйдя из ветряка, воздух пересекает площадь S2 со скоростью V2.
Тут следует оговориться, что нарисованные на картинке линии ограничения потока воздуха не являются плотными стенками, потому принципиально сквозь них возможен некоторый обмен воздухом с окружающей средой. Однако, перед ветряком такого обмена не будет, поскольку мы предполагаем параллельность потока, а площадку за ветряком можно выбрать сколь угодно близкой к выходу из ветряка, где обмен со средой будет ещё пренебрежимо мал.
 |
| Рис. 7. Объём воздуха, проходящего через сечение. |
m=ρ*S*L=ρ*S*V*t,
где ρ -- плотность воздуха.
Поскольку скорость ветра постоянна, то можно поделить массу на единицу времени и записать (корректнее, но длиннее, было бы изначально записать в равенство в дифференциалах, а затем продифференцировать по времени... а, может, и не длиннее, зато инженерам так понятнее, как я заметил):
m/t=ρ*S*V=dm/dt,
что означает равенство производной массы по времени произведению плотности на площадь проходного сечения и скорость течения через него.
Тоже самое можно записать для двух других сечений, а поскольку через них проходит одна и та же масса за единицу времени, то все три выражения можно приравнять. Тогда получаем равенство:
dm/dt=ρ*S1*V1=ρ*S*V=ρ*S2*V2 (1)
Затем обратимся к следующему столпу, к так называемой теореме Эйлера об изменении момента количества движения жидкости в канале, которая гласит: "Сумма главного вектора объемных сил, главного вектора поверхностных сил и секундных количеств движения, направленных внутрь объема, равна нулю". Теорема простая, её доказательство легко найти. Давайте разберёмся, что в ней что.
В начале поймём, где у нас канал. Канала как такового, разумеется нет, но поскольку поток воздуха через ветряк ограничен в пространстве и не смешивается с окружающей средой, то поверхность его ограничивающая может быть назначена стенками канала (рис. 7). Поверхностные силы те, которые действуют на эти воображаемые стенки канала, а поскольку "стенки" покоятся и не испытывают никаких напряжений, то мы уже знаем величину этих сил. Поверхностные силы тождественно равны нулю.
Fпов=0
Объемные силы в потоке уравновешены (обнулены), поскольку течение равномерное. В ветряке силы со стороны потока уравновешены силами реакции со стороны ветряка, эти силы не принадлежат жидкости, поэтому объёмная сила, действующая на ветряк со стороны потока не равна нулю. Это как раз та сила, которая производит работу в ветряке.
Fобъ=Fветр
Секундное количество движения, секундный импульс, по определению есть произведение секундной массы на её скорость. Секундная масса (при условии равномерности потока), это производная массы по времени, полученная нами в формуле (1) (здесь полагаем единицей времени секунду). Поток входит и выходит из объёма канала в двух сечениях -- S1 и S2. Для первого секундный импульс можно записать как:
Q1=dm/dt*V1
для второго сечения надо учесть, что поток выходит из объёма, поэтому его величину следует взять со знаком минус:
Q2=--dm/dt*V2
Тогда теорема записывается следующим образом:
Fобъ+Fпов+Q1+Q2=0
Подставим значения сил и получим, выведя dm/dt за скобки:
dm/dt(V2-V1)=Fветр
Так как вектора скоростей воздуха направлены вдоль оси, то вектор силы, действующей на ветряк также направлен вдоль оси. Поэтому в дальнейшем мы можем перейти от векторов к их проекциям на ось, проходящую от входа до выхода вдоль оси ветряка. Заметим, что V2 меньше V1 по модулю, поэтому при переходе к проекциям силу надо записать со знаком минус:
dm/dt(V1-V2)=Fветр (2)
Только не надо путать эту силу с осевой. Осевая сила действует со стороны крыльчатки на опору, а Fветр, это сумма объёмных сил воздуха, действующих на крыльчатку.
Далее получим выражение для мощности ветряка. Дифференциал энергии равен работе силы на дифференциале пути:
dE=Fdx
Мощность есть производная энергии по времени:
P=dE/dt=Fdx/dt=Fветр*V (3)
Здесь мы учли постоянство силы во времени (её производная равна нулю в таком случае). Подставим в формулу (2) выражение для секундного расхода из формулы (1), а из формулы (3) выражение для силы.
ρ*S*V2(V1-V2)=P (4)
Тем самым мы получили мощность ветряка, но беда в том, что она выражается через две неизвестные величины: некую среднюю скорость воздуха через ветряк и скорость воздуха на выходе из него.
Попробуем получить ту же мощность, но с другой стороны. Исходя из закона сохранения энергии необходимо признать, что не только воздух производит работу с ветряком, но и ветряк производит работу с воздухом той же величины, но с обратным знаком, что бы их сумма была равна нулю, ведь когда где-то что-то появляется, где-то что-то пропадает:
A1 + A2 = 0 (5)
Обратимся к третьему столпу, закону Бернулли. Закон Бернулли справедлив для идеальной жидкости, лишённой вязкости и теплопроводности. Воздух таковой, вообще говоря, не является, но очень похож на неё в рассматриваемом случае. Использование идеальной жидкости, это ещё одно допущение теоремы. Однако, это допущение не меняет результат, поскольку учёт вязкости приведёт к появлению потерь и снижению мощности ветряка, а мы пытаемся определить максимально возможную из всех. Максимальная будет в невязком потоке.
Закон Бернулли без гравитации декларирует постоянство в потоке следующей величины:
ρ*V2/2+p=const
постоянная величина (const) также называется полным давлением, которое слагается из статического давления (p) и динамического давления (первый член уравнения). Вначале мы договорились, что статическое давление до ветряка и после остаётся неизменным и равным атмосферному давлению. Атмосферное давление, собственно, так и измеряется как статическое давление воздуха. Меняется динамическое давление, оно и производит работу ветряка.
На входе в наш канал воздух совершает работу (вообще говоря, над самим собой) равную:
ρ*V12/2*S1*V1*t
За ветряком, соответственно:
ρ*V22/2*S2*V2*t
Запишем разницу этих работ, используя условие неразрывности, из которого возьмём замену линейным членам, введя средние значения скорости и площади:
A2=ρ*/2*S*V*t*(V22-V12)
Эта разница и производит работу над ветряком. Продифференцируем работу по времени и получим мощность:
Р2=ρ*/2*S*V*(V22-V12) (6)
Продифференцировав уравнение (5), получим выражение для мощностей:
Р1 + Р2 = 0 (7)
Подставим в (7) значения мощностей из (4) и (6):
ρ*S*V2(V1-V2) + ρ*/2*S*V*(V22-V12) = 0
Откуда несложными алгебраическими манипуляциями получим искомую среднюю скорость:
V=1/2*(V1+V2) (8)
NB. В выводе средней скорости был некоторый тёмный момент, а именно, в вычислении работы воздуха над самим собой. На самом деле, существуют различные способы выведения средней скорости (скорости воздуха внутри ветряка), но все они сомнительные, как и сама эта величина, не имеющая физического воплощения. Вспомним, что мы рассматриваем ветряк как чёрный ящик, и что там внутри у него происходит, нам неизвестно. Более того, нам неизвестно, что происходит вблизи него, известны только параметры входа и выхода. Поэтому я ввёл такое понятие как работа воздуха над самим собой, которую он якобы производит, толкая себя вперёд, подобно Мюнхаузену с косичкой. В действительности воздух работает над ветряком, но мы этого "не видим", видим только как воздух подходит к ветряку и отходит от него, с изменившейся возможностю совершать работу. В других местах вы и такого объяснения не получите, в лучшем случае безосновательное "приблизительно можно считать", а то и вовсе ошибочные заявления. Этот тёмный момент доказательства провоцировал попытки усовершенствования теории, включая попытку Г.Х.Сабинина.
Выражение для средней скорости от скоростей на входе и выходе (8) предоставляет нам возможность сократить в выражении для мощности (4) лишнюю неизвестную. Теперь мощность можно выразить через одну неизвестную -- скорость воздуха на выходе V2.
P=ρ*S*V2(V1-V2)=ρ*S*(V1+V2)2(V1-V2)/4=ρ*S*(V12-V22)(V1+V2)/4 (9)
Но и такое выражение ничего пока не даёт, преобразуем его к другой, к относительной переменной b=V2/V1, нормализуем выходную скорость скоростью ветра.
P=ρ*S*(V12-V22)(V1+V2)/4=ρ*S*V13(1-b2)(1+b)/4 (10)
Теперь исследуем уравнение (10) на предмет наличия у него максимумов. Максимум функции как раз и будет максимальной мощностью ветряка. Разделим для удобства вычислений уравнение (10) на постоянную и переменную часть (k).
P=ρ*S*V13k/2, здесь k=(1-b2)(1+b)/2
Продифференцируем k по b и приравняем к нулю:
dk/db=1/2(1-3b)(1+b)=0 (11)
Решения уравнения (11) будут экстремумами функции. Легко видеть, что эти решения b=1/3 и b=--1. Только первое решение имеет смысл, оно означает, что скорость ветра за ветряком составляет одну третью часть скорости ветра перед ветряком. Это и есть максимум. Можете самостоятельно доказать это утверждение, продифференцировав функцию (11) ещё раз. Я же вернусь к её исследованию в следующем посте. Пока же просто выпишу окончательную формулу для максимальной мощности ветряка, закон Бетца:
Pmax = (16/27)ρ*S*V13/2 ≈ 0.593*ρ*S*V13/2 (12)
Подписаться на:
Сообщения (Atom)