Одноглазый основатель

Леонард Эйлер на купюре в 10 швейцарских франков.

Среди деятелей русской культуры было модным уезжать умирать в Швейцарию. Швейцарец Леонард Эйлер поступил наоборот. Надо отдать ему должное, в России он не только умирал, но и много, плодотворно работал, и не где-нибудь, а в Академии наук. Так же, как и Жуковский полтораста лет спустя, он интересовался всеми существующими областями науки, прикладывая к ним математический аппарат, но если Жуковский использовал уже готовые математические методы, то Эйлер их сам создавал. Шёл изящный осемьнадцатый век, даже старейшая из современных наук -- математика -- была тогда ещё совсем юной. Как и свойственно этому чудесному возрасту, она открывала в себе новые возможности, чему немало способствовал не лишённый любви к мирским удовольствиям Леонард Эйлер, ставший основоположником почти всего в математике. И не только в математике. Вместе со своим приятелем Даниилом Бернулли (который и пригласил Эйлера в Петербург) Эйлер имеет все права быть названным основателем механики сплошных сред вообще и аэродинамики в частности. Кстати, ещё одно различие его с будущим последователем: Эйлер был петербуржцем, а Жуковский -- москвичом.

Для расчёта обтекания аэродинамического профиля Жуковский применил сразу два изобретения Эйлера, в чём нет ничего удивительного, учитывая их количество. Во-первых, это уравнение Эйлера гидродинамики идеальной жидкости. Уже из названия понятно, что уравнение это мало приспособлено для решения практических задач. Эйлер воспринимал окружающую действительность как источник хитроумных математических задач, шёл от практики к теории, поэтому грешил идеализацией. Жуковскому же предстояло проделать обратный путь. Однако уравнение для реальной среды Жуковскому тоже не подходило, потому что он не умел его решать. По правде сказать, в те времена уравнение Эйлера тоже решалось с трудом, но, всё-таки, решалось. Более того, для важного частного случая было получено аналитическое решение.

Представьте себе бесконечно длинный цилиндр (трубу), который движется в жидкой среде параллельно своей оси (прямо, без уклона). Среда тоже движется, в другом направлении, отличным от того, в котором движется цилиндр, но тоже прямо на него. Движение равномерное, установившееся и не быстрое, не приводящее к возникновению завихрения за цилиндром. Это очень простая задача. Поскольку вдоль оси всё одинаковое, то можно вместо трёхмерного пространства рассматривать одно сечение (все остальные будут такими же), то есть, перейти в уравнении от трёх координат к двум. Так как движение установившееся, то зануляется присутствующая в уравнении производная по времени. Граничные условия тоже очень просты, а переход к полярной системе координат позволяет получить аналитическое решение.

Рис. 9. Потенциальное обтекание кругового цилиндра
потоком идеальной жидкости.

На рисунке 9 показано это решение. Сечение цилиндра заштриховано, красной стрелкой указана его скорость, синяя стрелка -- скорость потока жидкости на бесконечном удалении от цилиндра. Тонкие линии обозначают линии тока, пути, по которым движутся элементарные объёмы жидкости.

Отметим, что картинка симметрична относительно оси, перпендикулярной направлению потока жидкости. Соответственно симметричны и скорости жидкости, но, как выяснил приятель Бернулли, скорость определяет давление. Давление же определяет силу, действующую на тело. Стало быть, силы, действующие на тело в направлении потока жидкости, уравновешивают друг друга, а их сумма равна нулю. То есть, тело, находящееся в потоке жидкости, не испытывает никакого воздействия с её стороны. И жидкость не оказывает никакого сопротивления при движении тела ей навстречу. Сей абсурдный факт был назван парадоксом Д'Аламбера и служит наглядным доказательством неадекватности теории идеальной жидкости реальному положению вещей. В действительности сопротивление телу оказывает даже сверхтекучий гелий.

Относительно же оси, расположенной вдоль потока, симметрии не наблюдается. Вот этот наплыв-то и создаёт подъёмную силу. Поскольку хорошо обтекаемые профили имеют малое сопротивление и большую подъёмную силу, то несмотря на неадекватность теории идеальной жидкости, её можно использовать с некоторой натяжкой, так как подъёмная сила с её помощью вычисляется более-менее точно.

Ещё один изъян полученного решения, это неопределённость течения на поверхности цилиндра. Буквами А и В обозначены так называемые критические точки, где жидкость движется перпендикулярно поверхности цилиндра. Единственное, что следует из решения уравнения, так это то, что такие точки должны быть симметричными, точное же их местоположение следует выбирать из каких-то других соображений. Это неопределённость циркуляции, она выскакивает чисто математически, в результате интегрирования. Такая неопределённость тоже не должна удивлять, поскольку в действительности на поверхности обтекаемого тела всё обстоит иначе, чем предписывает теория идеальной жидкости.

Второе изобретение Эйлера, использованное Жуковским, лежит в совсем другой области знания, не удивляйтесь, но это картография. По мнению некоторых биографов, именно занятия с географическими картами убили правый глаз Эйлера. В 1735-м году Российская академия наук поручила ему работу по созданию Атласа империи. В 1741-м году Эйлер покинул Россию (по политическим соображениям, надо понимать, хотя официально по состоянию здоровья), но тема настолько его захватила, что он продолжал её отслеживать из-за границы. После внезапной смерти М.Ломоносова, который в то время занимался Атласом, в 1766-м году Эйлер вернулся в Петербург и вновь заведовал картографической работой Академии. Тогда-то он и создал метод конформного отображения с использованием функций комплексной переменной.

Примерно с XVI-го века мировая торговая общественность была озабочена поиском кратчайшего пути из Европы в Индию. Эта навязчивая идея привела ко множеству открытий и к ещё большему количеству трагических эпизодов. Помимо пути через Западное полушарие испытывалось также северное направление, через Северный Ледовитый океан в Тихий, а затем в Индийский. Ко времени Эйлера уже было опытным путём доказано существование такого пути, но... не было толковых карт. Помимо всего прочего, ситуация усугублялась тем обстоятельством, что к Северному полюсу сходятся меридианы, поэтому чем севернее, тем проще сделать ошибку в определении долготы местности, которая и без того в те времена определялась приблизительно.

Бескрайние просторы расширяющей Империи также ставили задачу адекватного отображения на плоской карте шарообразной поверхности Земли. Множество маленьких плоских и прямоугольных карт нужно было сложить в изображение всей страны, которое составляло значительную часть сферы, с геометрией, сильно отличающейся от плоской, и наоборот. Эйлер определил комплексные функции, которые переводят сферические координаты в плоские, сохраняя при этом подобие в малом. То есть, предположим, у нас есть некие деревни Заплатово, Дырявино, Разутово, Знобишино, Горелово, Неелово и Неурожайка с неустановленными адресами. Нужно единообразно пересчитать все координаты на земном шаре в плоские таким образом, чтобы все эти деревни выглядели на карте точно так же, как на самом деле. Задача, на самом деле, нетривиальная, но Эйлер с ней справился.

Атлас Российской империи в проекции де Лиля 1745-го года, вдохновивший
Леонарда Эйлера на создание теории конформных отображений.

Ну, а Жуковскому предстояло получить с помощью этих работ величину подъёмной силы крыла.

Назад

К оглавлению

Вперёд