Сообщения
 |
| Баррикада на Арбате, 1905 г. |
Рассмотрение тел в работе ограничивалось цилиндром и полоской бристольского картона, но способ расчёта подъёмной силы действительно был предложен, и его вполне можно назвать теоремой Жуковского, хотя за пределами богоспасаемой она называется the Kutta–Joukowski theorem. В сущности, это теорема является частным приложением теоремы Стокса, на которую Николай Егорович и указывает, как ему было свойственно. Величина подъёмной силы в то время его не особенно занимала, ему куда больше была интересна сама концепция "присоединённых вихрей". Такие вихри позволяли рассматривать движение бесконечной (беспредельной, как пишет профессор) среды как ограниченной в замкнутом объёме "присоединённого вихря". Этот подход аналогичен тому, что был применён в теореме Бетца-Жуковского, что неудивительно, поскольку расчёты течения идеальной жидкости лучше всего проводить как раз для таких самозамкнутых объёмов.
Дело в том, что идеальная жидкость взаимодействует с телами совершенно неадекватным образом, как мы уже успели убедиться на примере парадокса Д'Аламбера, поэтому желательно рассматривать её вдали от тел, но там она неинтересна... Это тоже парадокс, который пытались разрешить концепцией присоединённых вихрей (Жуковский здесь не был пионером), включая тело в состав вихря жидкости, не заботясь о характере её взаимодействия с телом. Но в теореме Жуковского такой номер проходил со скрипом, поскольку для вычисления подъёмной силы необходимо было знать распределение скорости жидкости вдоль поверхности тела. Как мы помним из предыдущего рассмотрения, скорость на поверхности тела величина неопределённая, поскольку неизвестно положение критических точек на нём.
Поэтому прошло ещё четыре года, прежде чем Чаплыгин с Жуковским во время очередного диспута не договорились до "эврики"; поняли, как правильно расположить на поверхности обтекаемого профиля критические точки. С тех пор это граничное условие обычно называется постулатом Чаплыгина-Жуковского, сокращённо -- постулатом Чаплыгина, а иногда и вовсе постулатом Жуковского, хотя за пределами его зовут the Kutta condition. Наступающий на пятки Кутта здесь совсем не удивителен, поскольку никакого "бинома Ньютона" в проблеме расчёта подъёмной силы крыла не было, проблемой было рассчитать распределение скоростей в среде, для чего было необходимо численным способом решить уравнение Эйлера для сложной геометрии крыла.
Кутта (Martin Wilhelm Kutta), это тот самый математик, который предложил метод расчёта дифференциальных уравнений, известный всем студентам естественных наук как метод Рунге-Кутты. Он брался рассчитывать течение как есть, поэтому ему нужно было граничное условие. Что же касается Жуковского, то тот не занимался численным решением дифференциальных уравнений, поэтому и не утруждал себя формулировкой граничного условия, которое всё равно некуда было прикладывать. Но Жуковский нашёл-таки способ "как из камня сделать пар", как решить уравнение Эйлера для крыла, не решая его, вот тогда-то ему и понадобился постулат Чаплыгина.
Аналитическое решение для цилиндра было известно, Жуковский предложил применить к нему конформное преобразование, которое превратило бы цилиндр в профиль крыла. И вот это действительно большое и совершенно оригинальное изобретение Николая Егоровича, получившее название функции Жуковского, которое и за пределами именуется как the Joukowsky transform. Конформное преобразование адекватно передаёт не только геометрию тела, но и окружающую его среду идеальной жидкости, что совершенно строго доказывается математически. Уравнение Эйлера составлено в дифференциалах, в малых величинах, а мы помним, что малые деревни трансформным преобразованием передаются адекватно. Это, конечно, не доказательство, просто для наглядности.
Функция Жуковского выглядит просто, как и всё гениальное:
Здесь z -- комплексная переменная, составленная из двухмерных координат пространства решений задачи обтекания цилиндра, а f(z) -- комплексная плоскость задачи обтекания профиля крыла.
Приложение функции Жуковского к цилиндру единичного радиуса, ось которого находится в центре координат, даёт отрезок прямой от -1 до 1. Если смещать цилиндр относительно центра координат и менять его радиус, то в результате будут получаться различные фигуры, в том числе, и подобные профилю крыла. Тут надо заметить, что смещение и масштабирование также являются конформными преобразованиями. Что же касается постулата Чаплыгина, то он всего навсего означает, что одна из критических точек должна "сесть" на выходную кромку профиля (острую его часть). Тут дело как раз в остроте. Скорость на кромке должна зануляться, потому что иное означало бы перетекание жидкости через острый угол, с нулевым радиусом, и, стало быть, с бесконечными ускорениями, которые требуют приложения бесконечных сил.
 |
| Преобразование Жуковского. |
Конечно, получающиеся профиля не очень похожи на реальные, в последствии функцию Жуковского совершенствовали, получая лучшие результаты, но сам принцип был сохранён. Также надо отметить, что в распоряжении Жуковского не было не только электронных таблиц, но даже самого простейшего калькулятора. Все вычисления приходилось проделывать вручную, но всё равно их было намного меньше, чем при численном решении дифференциального уравнения.
Таким образом, к экспериментальному методу определения аэродинамических свойств крыла добавился аналитический. В наше время, с появлением мощной и дешёвой вычислительной техники, экспериментальный метод сильно сдал в пользу третьего, численного метода, который развивал Кутта, а метод Жуковского и вовсе вышел из употребления за ненадобностью. Давайте вспомним, в частности, что уравнение Эйлера не даёт сопротивления.
Кстати, о Д'Аламбере. Уже в XIX-м веке высказывались предположения, что жидкость на поверхности тела не движется относительно него, но как бы "прилипает" к нему, в то время как теория идеальной жидкости указывает на скольжение вдоль поверхности тела. Именно это скольжение и создаёт подъёмную силу по теореме Кутты-Жуковского. Любопытно, что ещё до публикации Жуковским работы "О присоединённых вихрях", в 1904-м году, уже упомянутый Людвиг Прандтль (Ludwig Prandtl) опубликовал статью, в которой описал так называемый пограничный слой, и, более того, указал на его роль в формировании сопротивления и подъёмной силы.
Скорость среды на поверхности тела действительно равна нулю, возрастая по мере удаления от поверхности, формируя тем самым пограничный слой, теперь это уже доказанный факт. Так что, если считать подъёмную силу в соответствии с теоремой Кутты-Жуковского по реальному распределению скоростей на поверхности крыла, то она всегда будет равна нулю. В то время как реальная подъёмная сила не равна нулю. Как объяснить сей парадокс?
Теория ошибок утверждает, что к правильному результату приводит чётное количество ошибок. В теории Жуковского их две. С одной стороны, это "присоединённый вихрь", а с другой -- отсутствие пограничного слоя. Присоединённый вихрь (которого не существует) создаёт ту связь с поверхностью, которую обеспечивает пограничный слой (который существует). За пределами пограничного слоя воздух отличается от идеальной жидкости, в основном, вязкостью, а она у воздуха очень маленькая. Так что, теорему Кутты-Жуковского можно считать приложимой к среде за пределами пограничного слоя (толщина которого мала). Вдоль же пограничного слоя среда действительно "скользит".
Поэтому, несмотря на несовершенство теории идеальной жидкости, в руках у инженеров появились расчётные методы для создания совершенных аэродинамических профилей крыльев, лопастей винтов и ветряков. И они были изготовлены.
